Estrada i Studio 03 2008, Do czytania, Estrada i Studio, 2008
Ethos Magazine 03, Podreczniki RPG, Ethos Magazine
Erikson Steven - Malazańska Księga Poległych 03 - Wspomnienie lodu 02 - Jasnowidz2, Malazańska Księga Poległych
Essential Mix - Tiga [2009-04-03], MUZYKA, !! ESSENTIAL MIX !!
Essential Mix - Fake Blood - [14.03.2009], MUZYKA, !! ESSENTIAL MIX !!
EverMetal Zine 03 (11.06.2007), ZINY O MUZYCE, EverMetal Zine
Ewan Chris - Charlie Howard 03 - Dobrego złodzieja przewodnik po Las Vegas(1), ebooki,
Ewilan z dwóch światów 03 - Wyspa przeznaczenia - Bottero Pierre, 1, A tu dużo nowych ebooków
espe 116 2015-03, Religijne, Różne
Essentials of Sociology A Down to Earth Approach - 03, Angielskie [EN](4)(2)
Euroatraktor-03--Lozinski - o Losowych Układach Dynamicznych--p4, Uklady Dynamiczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]//-->Euroatraktor:o losowych układach dynamicznychArtur ŁozińskiInstytut Fizyki, Uniwersytet JagiellońskiKarol ŻyczkowskiInstytut Fizyki, Uniwersytet JagiellońskiorazCentrum Fizyki Teoretycznej PAN, WarszawaEuroattractor: on random dynamical systemsDyskretne układy dynamiczne z jednej strony sta-nowią szybko rozwijający się dział matematyki [1],a z drugiej są używane przez fizyków do modelowaniabardziej złożonych procesów fizycznych. Analiza takichprostych odwzorowań odcinka w odcinek, jak odwzo-rowanie logistyczne, przesunięcie Bernoulliego czy od-wzorowanie namiotowe, umożliwiła zrozumienie i opi-sanie zjawiska chaosu w układach nieliniowych [2–5].Odwzorowania dyskretne należą do klasy uk-ładów d e t e r m i n i s t y c z n y c h: dowolny punkt po-czątkowy układu określa jednoznacznie jego trajekto-rię. W niniejszym artykule przedstawimy ideę układuiterowanych odwzorowań (ang. iterated function sys-tems, IFS), który stanowi pewne uogólnienie dyskret-nego układu dynamicznego. Rozważmy zbiórkdys-kretnych odwzorowańfi: Ω→Ω,i= 1,. . . , k,prze-kształcających zbiór Ω w siebie. Przed każdym kro-kiem wybieramy w sposób losowy jeden układ dy-namiczny, który będzie użyty w danej iteracji. Wy-bór układufinastępuje z zadanym prawdopodo-bieństwempi, przy czym spełniony jest warunekki=1pi= 1. Układ iterowanych odwzorowań, zdefi-niowany w ten sposób, jest s t o c h a s t y c z n y: dyna-mika zależy od czynnika losowego określającego, któreodwzorowanie, spośródkmożliwych, zostanie wyko-rzystane w danym kroku iteracji.Rozważmy prosty przykład IFS-u składającegosię z dwóch odwzorowań:f1(x) =x/3orazf2(x) = (x + 2)/3,(1)zdefiniowanych na odcinku jednostkowym Ω = [0, 1].Obydwa prawdopodobieństwa są sobie równe i wyno-sząp1=p2= 1/2. Trajektorię rozpoczynającą sięw dowolnym punkciex∈Ω generujemy w nastę-pujący sposób: z równym prawdopodobieństwem losu-jemy jeden z układów, a wylosowany układ, działającnax, wyznacza punktx1. Kolejny krok iteracji po-lega na ponownym losowym wybraniu układu, któryokreśli punktx2=f(x1) przy założeniu, że zmienne168losowe są od siebie niezależne. Taki schemat postę-powania odpowiada losowej wędrówce ulicami miasta,gdy na każdym skrzyżowaniu rzucamy (odpowiednią)kostką, aby określić kierunek dalszego marszu. W tensposób można modelować procesy fizyczne, w którychdynamika przez pewien czas jest deterministyczna, alewybór rodzaju oddziaływania zależy od niekontrolo-wanego czynnika przypadkowego.Zrealizujmy za pomocą komputera przykładowątrajektorię układu losowego (1). Iteracje rozpoczy-namy z dowolnego punktux, a na odcinku [0, 1] ozna-czamy tylko drugi tysiąc punktów,{x1001, . . . , x2000}.W jaki kształt ułożą się punkty na ekranie? Powtarza-jąc kilkakrotnie takie doświadczenie numeryczne zaob-serwujemy, iż niezależnie od wyboru punktu począt-kowego i konkretnej realizacji procesu losowego ob-razy powstające na ekranie są nie do rozróżnienia.Co więcej, powstający obraz ma skomplikowaną struk-turę fraktalnego zbioru Cantora, pomimo że dynamikakażdego z układów z osobna jest prosta i łatwa doopisania: każde odwzorowanie ma jeden przyciągającypunkt stały, (f1)n(x)→0 oraz (f2)n(x)→1.Dynamikę danego IFS-u można również opisy-wać, analizując ewolucję gęstości (lub ogólniej, miarprobabilistycznych) zadanych na zbiorze Ω. Załóżmy,że początkowa gęstość jest jednorodna, tzn.γ(x) = 1dlax∈[0, 1]. Jak będzie wyglądała gęstośćγ1(x)po jednokrotnej iteracji układem iterowanych odwzo-rowań? Otrzymanie odpowiedzi ułatwi wprowadze-nie operatora Markowa, stowarzyszonego z każdymIFS-em. W najprostszym przypadku, gdy wszystkieodwzorowaniafisą odwracalne, operator MarkowaMopisujący ewolucję gęstościγjest zdefiniowany wzo-rem [6,7]KM[γ](x) =i=1pi(fi−1(x))γ(fi−1(x))dfi−1,dx(2)gdziex∈Ω. W analizowanym przykładzie obrazemTOM 54ZESZYT 4ROK 2003POSTĘPY FIZYKIA. Łoziński, K. Życzkowski – Euroatraktor: o losowych układach dynamicznychgęstości jednorodnejγ(x) jestγ1=M[γ], czyli gę-stość jednorodna w każdym z przedziałów: [0, 1/3] oraz[2/3, 1]. W kolejnej iteracji powstaje gęstośćγ2, jedno-rodna na czterech przedziałach o długości 1/9, a w gra-nicy asymptotycznej otrzymamy osobliwą miarę praw-dopodobieństwaµ∗skoncentrowaną na fraktalnymzbiorze Cantora, jak ilustruje rys. 1. Zbiór ten mawłasności s a m o p o d o b n e, gdyż powiększając trzy-krotnie lewą część zbioru, zawartą w odcinku [0, 1/3],otrzymamy cały zbiór.odwzorowań może być kodowanie lub kompresja infor-macji graficznej: zamiast zapamiętywać rysunek bit pobicie, można próbować znaleźć układ, którego miaraniezmiennicza dobrze przybliża kodowaną informację,a następnie przesyłać liczby definiujące IFS. Na pod-stawie otrzymanych danych odbiorca można odzyskaćzakodowaną informację graficzną przez iterowanie takzdefiniowanego układu.Zanim przedstawimy przykład IFS-u dopasowa-nego do danej informacji graficznej, przedstawimy jegoproste uogólnienie. W standardowej definicji IFS od-wzorowaniafiprzeprowadzają całą przestrzeń Ω nanią samą. Zrezygnujmy jednak z tego wymogu i dopu-śćmy szerszą klasę odwzorowań. Dla każdego odwzoro-waniafizdefiniujmy zbiórXi⊂Ω, który zostaje od-wzorowany na przestrzeń Ω (fi:Xi→Ω). Natomiastpunkty należące do dopełnienia tego zbioru (tj. nale-żące do zbioru Ω\Xk) są odwzorowywane poza prze-strzeń Ω (rys. 2).1234Rys. 1. Cztery kolejne iteracje początkowej miary jedno-rodnej na odcinku jednostkowym. Kolejne miary są co-raz bardziej podobne do miary niezmienniczejµ∗IFS-uzdefiniowanego wzorem (1).ΩXifi(Xi)ΩX’iPunkty określone przez dowolną trajektorię gene-rowaną przez IFS (1) utworzą na ekranie zbiór Cantora(a ściśle mówiąc, jego dowolnie dobre przybliżenie),gdyż miara Cantoraµ∗jest miarą niezmienniczą ope-ratora Markowa,µ∗=M[µ∗]. Jest to miara przycią-gająca, tzn. rozpoczynając iteracje z dowolnej miarypoczątkowej�½otrzymamy w granicy miarę Cantora,limn→∞Mn[�½] =µ∗. Takie przyciągające miary nie-zmiennicze nazywamy a t r a k t o r a m i układu, choćniekiedy ta nazwa dotyczy też zbiorów niezmienni-czych, czyli nośników miary niezmienniczej.Interesującym problemem matematycznym jestpodanie warunków wystarczających, aby dany IFSmiał tylko jedną miarę przyciągającą. Można wy-kazać [8], że przy stałych prawdopodobieństwachpiwarunkiem wystarczającym istnienia atraktora dladanego iterowanego układu odwzorowań jest wła-sność zwężania (kontrakcji), spełniana przez każdez odwzorowańfi. Oznacza to, że istnieje taka liczbaL <1 (stała Lipschitza), że dla każdej pary punk-tówx, y∈Ω spełniony jest warunek: d(fi(x),fi(y))Ld(x, y).IFS spełniający tę własność nazywany jesth i p e r b o l i c z n y m, a przykład (1) należy do tej klasy(ze stałąL= 1/3 dla obu odwzorowań).Zbiory niezmiennicze pewnej klasy iterowanychukładów odwzorowań mają własności fraktalne. IFS-ydziałające w przestrzeni dwuwymiarowej mogą służyćdo tworzenia grafiki komputerowej oraz projektowaniasztucznych krajobrazów i graficznych efektów specjal-nych [8,9]. Innym zastosowaniem iterowanych układów1fi(Ω/Xi)Rys. 2. Ilustracja działania odwzorowań dopuszczalnychdla uogólnionych IFS-ów. Dla odwzorowaniafkkażdypunkt należący do zbioruXkjest odwzorowywany napewien punkt z przestrzeni Ω. Punkty nienależące dozbioruXksą usuwane poza Ω.Jako przykład zdefiniujmy uogólniony IFS, skła-dający się z 13 odwzorowańfizdefiniowanych na czwo-rokątnych podzbiorachXikwadratu jednostkowego,Ω = [0, 1]2, o jednakowych prawdopodobieństwach,pi= 1/13,i= 1,. . . ,13. Każde odwzorowaniefijestafiniczne i zadane przez macierz 2×2 przekształce-nia liniowego oraz wektor translacji. Wartości para-metrów wszystkich odwzorowań znaleźć można w pre-princie [10], natomiast rys. 3 pokazuje wybrane ite-racje miary początkowej, która jednorodnie pokrywakwadrat jednostkowy. Już szósta iteracja tej miary niejest numerycznie odróżnialna od siódmej iteracji (i na-stępnych), a więc może być traktowana jako dobreprzybliżenie miary niezmienniczej. Kształt zbioru nie-zmienniczego (nośnika miary niezmienniczej) uzasad-nia nadanie układowi nazwy Euroatraktor1. Chociażnie jesteśmy w stanie udowodnić, że w takim układzieistnieje dokładnie jedna miara niezmiennicza, wynikiDo zdefiniowania tego układu zainspirowała nas konferencja „Euroattractor” zorganizowana przez prof. W. Klo-nowskiego z Instytutu Biocybernetyki PAN w Warszawie w czerwcu 2002 r. (patrz hrabia.ibib.waw.pl/˜euroattractor).POSTĘPY FIZYKITOM 54ZESZYT 4ROK 2003169A. Łoziński, K. Życzkowski – Euroatraktor: o losowych układach dynamicznychnumeryczne nie są sprzeczne z taką hipotezą2: dla do-wolnego zbioru warunków początkowych układ dążydo atraktora przedstawionego po lewej stronie u dołurys. 3. . .Naszkicowana teoria iterowanych układów od-wzorowań jest wciąż przedmiotem badań matema-tycznych, dotyczących głównie istnienia przyciągają-cych miar niezmienniczych. Iterowane układy odwzo-rowań mogą być też użyteczne przy obliczaniu ca-łek po miarach fraktalnych [7]: całka po mierzeµ∗,która jest przyciągającą miarą niezmienniczą pewnegoIFS-u, jest równa granicy ciągu całek po miarach�½n,gdzie�½jest dowolną miarą (gęstością) początkową,a kolejne miary są zadane przez operator Markowa,�½n=Mn[�½]. Ta metoda umożliwia analityczne ob-liczenia entropii dynamicznej dla wybranych układówjednowymiarowych [11].Z punktu widzenia fizyka IFS stanowi ciekawymodel dynamiczny, w którym występują elementy de-terministyczne i stochastyczne. Takie podejście służyćmoże np. statystycznemu opisowi badanego układu,przy założeniu, że okresowe oddziaływanie z otocze-niem włączane jest w sposób losowy. Formalizm IFS,uogólniony na grunt mechaniki kwantowej [12], możebyć wykorzystany do analizy pewnej klasy otwartychukładów kwantowych.Literatura[1] A. Katok, B. Hasselblatt,Introduction to the ModernTheory of Dynamical Systems(Cambridge UniversityPress, Cambridge 1995).[2] H.G. Schuster,Chaos deterministyczny(PWN, War-szawa 1993).[3] E. Ott,Chaos w układach deterministycznych(WNT,Warszawa 1997).[4] G.L. Baker, J.P. Gollub,Wstęp do dynamiki układówchaotycznych(PWN, Warszawa 1998).[5] R. Dorfman,Wpowadzenie do teorii chaosu(PWN,Warszawa 2001).[6] A. Lasota, M. Mackey,Chaos, Fractals and Noise(Springer, Berlin 1994).[7] W. Słomczyński, J. Kwapień, K. Życzkowski, „En-tropy computing via integration over fractal measu-res”,Chaos10,180 (2000); arxiv.org/abs/chao-dyn/9804006.[8] M. Barnsley,Fractals Everywhere(Academic Press,San Diego 1988).[9] P. Pierański,Fraktale: od geometrii do sztuki(Ośro-dek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992).[10] K. Życzkowski, A. Łoziński, „Euroattractor: a briefintroduction to Iterated Function Systems”, arxiv.org/abs/nlin.CD/0210071.[11] W. Słomczyński, „From quantum entropy to iteratedfunction systems”,Chaos, Solitons & Fractals8,1861(1997).[12] A. Łoziński, K. Życzkowski, W. Słomczyński, „Qu-antum Iterated Function Systems”, arxiv.org/abs/quant-ph/0210029;Phys. Rev. E(2003), w druku.Rys. 3. Euroaktraktor. Po prawej kolejne obrazy miaryjednorodnej na całym kwadracie jednostkowym, po lewej– nośniki tych miar. Już szósta iteracji miary jednorod-nej przez operator Markowa stanowi dobre przybliżeniemiary niezmienniczej.Patrząc na zmiany polityczne zachodzące ostatnio w Europie, można się zastanawiać, czy Unia Europejska staniesię globalnym atraktorem przyciągającym wszystkie kraje naszego kontynentu?2170POSTĘPY FIZYKITOM 54ZESZYT 4ROK 2003ARTUR ŁOZIŃSKI, rocznik 1975, wielunianin z pochodzenia. Obecnie kończy doktoratw Instytucie Fizyki UJ. Jego zainteresowania naukowe to kwantowy chaos, teoria kwan-towych układów otwartych, a także splątanie kwantowe. Poza fizyką interesuje się przedewszystkim literaturą. Tak jak Borges uważa, że powodem do chwały są głównie książki,które się przeczytało, a nie te, które się napisało, wobec czego czyta, a nie pisze.Dr hab. KAROL ŻYCZKOWSKI, urodzony w 1960 r. w Krakowie, habilitacjaz fizyki teoretycznej na Uniwersytecie Jagiellońskim w roku 1994. Prowadzibadania w dziedzinie układów nieliniowych, kwantowego chaosu, splątaniakwantowego, a także podstaw teorii informacji kwantowej. Był stypendystąFundacji Humboldta (Essen, 1990) oraz Fulbrighta (University of Maryland,1997), pracuje w Instytucie Fizyki UJ w Krakowie oraz w Centrum FizykiTeoretycznej PAN w Warszawie. Zainteresowania: historia, polityka, sport,w szczególności narciarstwo wysokogórskie.POSTĘPY FIZYKITOM 54ZESZYT 4ROK 2003171 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
